ОБ ОДНОМ РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), ryazantsevv@mail.ru

518.5 

Актуальность и цели. Проблема продолжения потенциальных полей возникает во многих областях физики и техники: в геофизике при продолжении полей, измеренных на поверхности Земли, в глубь Земли, в метеорологии при определении границ атмосферных полей, в дефектоскопии для исследования внутренних свойств материалов без их разрушения и в ряде других областей. Несмотря на то, что для этих задач предлагаются различные методы, все они, как правило, сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, которые являются некорректными задачами. Применение классических разностных методов невозможно, как показали численные эксперименты, из-за их неустойчивости. Так как разностные схемы обладают простотой и быстродействием, представляет значительный интерес построение специальных устойчивых схем. Данная статья посвящена построению устойчивых разностных схем продолжения потенциальных полей.
Методы исследования. В основу построения разностных схем и продолжения потенциальных полей положены оптимальные методы аппроксимации потенциальных полей, принадлежащих классам функций Qr,γ (Ω,M) , Br,γ (Ω,M) , где Ω – область, в которую продолжается поле. Узлы локальных сплайнов, являющихся оптимальными методами приближения функций классов Qr,γ (Ω,M) и Br,γ (Ω,M) , взяты в качестве узлов разностных схем.
Результаты. Построены устойчивые разностные схемы, являющиеся эффективным методом продолжения потенциальных полей.
Выводы. Доказана возможность продолжения потенциальных полей разностными методами. 

потенциальные поля, разностные схемы, неравномерные сетки, устойчивость, оптимальность. 

1. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. – 1998. – № 8. – С. 70–78.
2. Бойков, И. В. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. I / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. – 2001. – № 12. – С. 78–89.
3. Бойков, И. В. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей. II / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. – 2003. – № 3. – С. 87–93.
4. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
5. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензПГУ, 2007. – 236 с.
6. Андреев, Б. А. Геологическое истолкование гравитационных аномалий / Б. А. Андреев, И. Б. Клушин. – Л. : Недра, 1965. – 495 с.
7. Бойков, И. В. Дискретные модели продолжения потенциальных полей / И. В. Бойкова А. И., В. И. Крючко, А. В. Филиппов // Геофизический журнал. – 2007. – Т. 29, № 4. – С. 67–82.
8. Гюнтер, Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гюнтер. – М. : ГИТТЛ, 1953. – 415 с.
9. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. – М. : Наука, 1984. – 327 с.
10. Бойков, И. В. Приближенные методы глобального гармонического сферического анализа потенциальных полей / И. В. Бойков, М. В. Кравченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4 (16). – С. 101–110.
11. Михайлов, В. О. Некоторые вопросы интерпретации данных тензорной градиентометрии / В. О. Михайлов, М. Диаман // Известия РАН. Физика Земли. – 2006. – № 12. – С. 3–10.